Penerapan Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai penerapan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak yang dikumpulkan dari berbagai sumber. 

A. PERSAMAAN NILAI MUTLAK

Contoh 1:

Sungai $X$ memiliki sifat cepat meluap pada musim hujan dan mengering di musim kemarau. Debit air sungai tersebut sebesar $137{\text{m}}^3/\text{s}$ pada cuaca normal. Perubahan debit pada cuaca tidak normal adalah $56{\text{m}}^3/\text{s}$. Tentukan nilai peningkatan maksimum debit air sungai tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan debit air sungai = x

$x$Diketahui debit air cuaca saat normal adalah $p=137{\text{m}}^3/\text{s}$ dan perubahan (simpangan) debit pada cuaca tidak normal adalah $q=56{\text{m}}^3/\text{s}$. Dari sini, kita memperoleh persamaan nilai mutlak yang merepresentasikan debit air sungai $X$ dalam satuan ${\text{m}}^3/\text{s}$.
$$\begin{array}{cc}|x-p|& =q\\ |x-137|& =56\end{array}$$Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{array}{cccc}x-137& =56& & \\ x& =193& & \left(★\right)\\ x-137& =-56& & \\ x& =81& & \left(★★\right)\end{array}$$Jadi, nilai peningkatan maksimum debit air sungai tersebut adalah 193 m3/s

Contoh 2:

Seorang karyawan di suatu perusahaan akan memperoleh kenaikan gaji karena telah berprestasi. Perusahaan menerapkan aturan bahwa penyimpangan gaji karyawan dengan pangkat (jabatan) sama adalah Rp500.000,00. Jika gaji karyawan tersebut mula-mula Rp3.000.000,00, tentukan gaji terendah dan gaji tertinggi karyawan berpangkat sama dengan karyawan yang memperoleh kenaikan gaji.

Penyelesaian:

Misalkan $x$ mewakili gaji tertinggi atau gaji terendah (simpangan paling jauh) karyawan perusahaan dalam satuan rupiah. Persamaan nilai mutlak yang mewakili permasalahan di atas adalah $|x-\mathrm{3.000.000}|=500.000$.
Akan diselesaikan persamaan nilai mutlak tersebut.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{cccc}x-\mathrm{3.000.000}& =500.000& & \\ x& =\mathrm{3.500.000}& & \left(★\right)\end{array}$
atau
$\begin{array}{cccc}x-\mathrm{3.000.000}& =-500.000& & \\ x& =\mathrm{2.500.000}& & \left(★★\right)\end{array}$
Jadi, gaji terendah dan gaji tertinggi karyawan perusahaan itu adalah Rp2.500.000,00 dan Rp3.500.000,00.

Contoh 3:

Waktu rata-rata yang diperlukan seorang siswa mengerjakan suatu soal adalah $3$ menit. Waktu seorang siswa bisa lebih cepat atau lebih lambat semenit dari waktu rata-rata. Tentukan waktu tercepat dan waktu terlama seorang siswa mengerjakan soal itu.

Penyelesaian:

Misalkan $x$ mewakili waktu tercepat atau waktu terlama (simpangan paling jauh) dalam satuan menit. Persamaan nilai mutlak yang mewakili permasalahan di atas adalah $|x-3|=1$
Akan diselesaikan persamaan $|x-3|=1.$
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$x-3=1\iff x=4$
atau
$x-3=-1\iff x=2$
Jadi, waktu tercepat dan waktu terlama seorang siswa mengerjakan soal itu berturut-turut adalah $2$ menit dan $4$menit.

B. PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Contoh 1: 

Selisih antara panjang dan lebar suatu persegi panjang kurang dari 6 cm. Jika keliling persegi panjang adalah 32 cm, maka tentukan batas nilai lebar persegi panjang tersebut!

Penyelesaian :

Oleh karena keliling persegi panjang adalah 32 cm, maka
2(p + l) = 32
<=> p + l = 16
<=> p = 16 - l

Selanjutnya, karena selisih antara panjang dan lebar persegi kurang dari 6 cm, maka

Dengan demikian, batas nilai lebar persegi panjang yang dimaksud adalah antara 5 cm sampai dengan 11 cm.

Contoh 2:

Sebuah pabrik membuat silinder mesin mobil dengan lubang berdiameter $7,9$ cm. Silinder itu tidak akan memenuhi syarat apabila ukuran diameter lubangnya menyimpang $0,0025$ cm atau lebih. Sederhanakan soal tersebut dalam bentuk nilai mutlak dan tentukan panjang diameter lubang maksimum dan diameter lubang minimum pada silindertersebut.

Penyelesaian:

Pertidaksamaan nilai mutlak yang sesuai dengan permasalahan di atas dengan $x$ sebagai panjang diameter lubang yang diukur adalah $|x-7,9|<0,0025.$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$$\begin{array}{ccccc}& & |x-7,9|& <& 0,0025\\ -0,0025& <& x-7,9& <& 0,0025\\ -0,0025+7,9& <& x& <& 0,0025+7,9\\ 7,8975& <& x& <& 7,9025\end{array}$$Jadi, panjang diameter lubang maksimum dan diameter lubang minimum pada silinder tersebut berturut-turut adalah $7,9025$ cm dan $7,8975$ cm.

Contoh 3:

Jarak terpendek yang diperlukan untuk menghentikan suatu mobil sejak pengereman dilakukan disebut jarak henti. Jarak henti ini merupakan faktor penting yang perlu diuji sebelum peluncuran produk mobil baru. Data mengenai jarak henti dapat digunakan untuk menghitung waktu reaksi pengemudi (selang waktu mulai pengemudi melihat kejadian sampai dia bereaksi menginjaambarsketsak pada rem) berdasarkan tingkat kelajuan mobil (dalam meter/jam).

Suatu penelitian menyatakan bahwa jarak henti dapat dinyatakan dengan formula :
d = |0,44v2 + 1,1v|, dimana v adalah kelajuan dan d dalam meter.

Pada batas kelajuan berapakah jarak henti mobil lebih dari 100 meter?

Penyelesaian :

Oleh karena kelajuan selalu bernilai positif, maka |0,44v2 + 1,1v| = 0,44v2 + 1,1v. Selanjutnya, agar jarak henti mobil lebih dari 100 meter, maka d haruslah lebih besar dari seratus.

Jadi, batas kelajuannya jarak henti mobil lebih dari 100 meter adalah 
-16,4 < v < 13,9 meter/jam.

Contoh 4:

Sebuah perusahaan sudah mendirikan minimarket A di kilometer ke-$20$ pada suatu jalan dan minimarket B di kilometer ke-$50$ pada jalan yang sama. Perusahaan tersebut ingin mendirikan sebuah minimarket lagi di jalan tersebut. Jika perusahaan menginginkan minimarket yang baru memiliki jarak lebih dari $20$ km terhitung dari minimarket B, pada kilometer berapakah minimarket yang baru mungkin didirikan?

Penyelesaian:

Langkah pertama kita gambar dulu

Langkah selanjutnya, Diketahui minimarket B terletak pada km-$50$. Misalkan $x$ menyatakan letak minimarket baru pada jalan tersebut. Karena minimarket ini dibangun dalam jarak lebih dari $20$ km terhitung dari minimarket B, maka kita perolehpertidaksamaan nilai mutlak:
$|x-50|>20$
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$x-50>20\iff x>70$
atau
$x-50<-20\iff x<30$
Jadi, minimarket baru tersebut dapat dibangun di jalan dengan letak kurang dari km-$30$ atau lebih dari km-$70$.

Contoh 5:

Sebuah mobil dengan merk A tertulis angka konsumsi penggunaan bensin yaitu 12 km/L. Indeks kisaran tempuh mobil A adalah 2,8. Jika Marc mengedarai mobil tersebut yang bensinnya bersisa 1 liter, maka pada jarak berapa Marc setidaknya harus mengisi bensin sebaiknya dan berapa juga jarak tempuh maksimal yang bisa ditempuh Marc?

Penyelesaian:

|S-12| < 2,8 , S adalah jarak tempuh, penulisan ini karena selisih jarak tempuh dan ketetapan perancangan (12 km/L) hanya memiliki indeks kisaran 2,8 tidak lebih dari itu.
-2,8 <S-12<2,8
-2,8+12 < S-12+12 < 2,8+12
9,2 < S < 14,8

Jadi dari penyelesaian di atas bisa dikatakan bensin pada mobil A (dengan bensin 1 L) yang dikendarai Marc akan habis pada jarak antar 9,2 km hingga 14,8 km. Agar lebih aman, Marc harus melakukan pengisian ulang bahan bakar pada jarak 9,2 km. Sementara itu nasib Marc paling baik adalah mobil bisa digunakan untuk menempuh jarak 14,8 km.

Source:

www.marthamatika.com

www.danlajanto.com

www.mathcyber1997.com