Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Pada pokok bahasan ini,akan dibahas tentang:

1. Persamaan Linier Tiga Variabel
2. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

1. Persamaan Linier Tiga Variabel

Jika  a, b, c and r adalah sebarang bilangan Real dan  a, b, c tidak sama dengan nol, maka ax + by + cz = r disebut persamaan linier tiga variabel, dengan variabel x, y, dan z. Bilangan a, b, and c disebut sebagai koefisien dari persamaan, sedangkan r merupakan konstanta dari persamaan tersebut.

Contoh 1:

Diketahui persamaan 3x - y + z = 7,merupakan persamaan linier tiga variabel, dengan variabel x, y, dan z. Koefisien variabel x adalah 3, koefisien variabel y adalah -1 dan koefisien dari  variabel z adalah 1. Konstanta dari persamaan tersebut adalah 7.

Contoh 2:

Diketahui persamaan p + 3q - 5r = 1 ,merupakan persamaan linier tiga variabel, dengan variabel p, q dan r. Koefisien variabel p adalah 1, koefisien variabel q adalah 3 dan koefisien variabel r adalah -5. Konstanta dari persamaan tersebut adalah 1.

Contoh 3:

Rara membeli 3 buku, 5 pensil dan 2 penghapus dengan total uang yang harus dibayar adalah Rp 24.500,00. Susunlah persamaan linier tiga variabel dari masalah tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan:

Harga 1 buku = x ; Harga 1 pensil = y ; Harga 1 penghapus = z

Maka diperoleh 3x + 5y + 2z = 24.500

    

2. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) dapat diartikan sebagai kumpulan persamaan linier yang memuat tiga variabel,dengan bentuk umum:

Contoh 1:

Diketahui keliling segitiga $ABC$ $70$ cm. Panjang $AC$ adalah $2$ cm lebihnya dari panjang $AB$. Panjang $BC$ adalah $6$ cm kurangnya dari panjang $AC$. Jika $x$ menyatakan panjang $AB$, $y$menyatakan panjang $BC$, dan $z$ menyatakan panjang $AC$, susunlah SPLTV dari hubungan panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan bahwa $x=|AB|,y=|BC|,z=|AC|$ dalam satuan cm (notasi garis tegak menyatakan panjang).
Diketahui keliling segitiga $ABC$ $70$ cm. Keliling adalah jumlah dari semua panjang sisi-sisi bangun datar. Untuk itu, kita peroleh persamaan
$x+y+z=70$
Panjang $AC$ $(z)$ adalah $2$ cm lebihnya dari panjang $AB$ $(x)$. Secara matematis, ditulis
$z=x+2\iff x-z=-2$
Panjang $BC$ $(y)$ adalah $6$ cm kurangnya dari panjang $AC$ $(z)$. Secara matematis, ditulis
$y=z-6\iff y-z=-6$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV

$\{\begin{array}{cc}x+y+z& =70\\ x-z& =-2\\ y-z& =-6\end{array}$

Contoh 2:

Bu Sari mempunyai uang pecahan lima ribuan, sepuluh ribuan, dan dua puluh ribuan. Jumlah uang tersebut adalah Rp160.000,00. Uang pecahan sepuluh ribuan $6$ lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Jika $x$ menyatakan banyak lembar uang lima ribuan, $y$ menyatakan banyak lembar uang sepuluh ribuan, dan $z$ menyatakan banyak lembar uang dua puluh ribuan, susunlah SPLTV yang menyatakan hubungan pecahan-pecahan uang tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan bahwa $x$ menyatakan banyak lembar uang lima ribuan; y menyatakan banyak lembar uang sepuluh ribuan; dan z menyatakan banyak lembar uang dua puluh ribuan.

Jumlah uang Bu Sari adalah Rp160.000,00. Secara matematis, ditulis
$5.000x+10.000y+20.000z=160.000$
dan disederhanakan menjadi
$x+2y+4z=32$
Uang pecahan sepuluh ribuan $6$ lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$y=x+6\iff x-y=-6$
Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$z=2x\iff 2x-z=0$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cc}x+2y+4z& =32\\ x-y& =-6\\ 2x-z& =0\end{array}$

Contoh 3:

Resty mempunyai pita hias berwarna merah, ungu, dan kuning. Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$cm. Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Susunlah SPLTV yang menyatakan hubungan panjang ketiga pita tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan $\mathrm{m\; menyatakan\; panjang\; pita\; merah\; dalam\; satuan\; cm;\; u\; menyatakan\; panjang\; pita\; ungu\; dalam\; satuan\; cm;\; dan\; k\; menyatakan\; panjang\; pita\; kuning\; dalam\; satuan\; cm.}$Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$ cm. Secara matematis, ditulis
$m+u+k=275$
Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Secara matematis, ditulis
$u=k-5$
Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Secara matematis, ditulis
$k=m+20\iff m=k-20$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}m+u+k& =275& & \\ u& =k-5& & \\ m& =k-20& & \end{array}$

Source: dari berbagai sumber