Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINIER SATU VARIABEL

A. Definisi Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat fungsi nilai mutlak. 

Persamaan nilai mutlak linier satu variabel adalah persamaan yang memuat fungsi nilai mutlak linier satu variabel.

Contoh : |x| = 4 ; |x -3| = 9 ; |2x-7| = x-3 ; |x+5| = |3x| 

B. Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak 

Ingat bahwa nilai mutlak dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan terhadap nol pada garis bilangan. Nilai mutlak bilangan bulat juga dapat didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan x adalah bilangan real, dimana   dibaca nilai mutlak x, maka:

Berdasar definisi nilai mutlak bilangan Real tersebut, maka kita bisa menyelesaikan persamaan nilai mutlak linier satu variabel.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian |x-2| = 3

Penyelesaian:

Cara 1: Nilai mutlak sebagai jarak

|x-2| = 3 maka x - 2 = 3 atau x - 2 = -3

Sehingga diperoleh x = 5 atau x = -1

Cara 2: menggunakan definisi

untuk x < 0 , maka - (x - 2) = 3 , diperoleh x = -1

untuk x ≥0, maka x - 2 = 3, diperoleh x = 5

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 3|2x+1|+4=25

Penyelesaian:

3|2x+1|+4=25

⇔3(|2x+1|)+4=25

⇔3(|2x+1|)+4+−4=25+−4

⇔3(|2x+1|)=21  ⇔|2x+1|=7, maka berlaku 2x+1=7 atau 2x+1=−7

Sehingga diperoleh x = 3 atau x = -4

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari |x - 2| = 2x + 1

Penyelesaian:

|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -(x - 2) = 2x + 1

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3

Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.

Contoh 4:

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan
|x + 1| + |2x - 4| = 9

Penyelesaian:
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1

|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

|2x - 4| = x- 4       jika  x ≥ 2

|2x - 4| = -(2x - 4)   jika  x < 2

Untuk x < -1

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -(x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x - 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -3x = 6

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -2
karena x < -1, maka x = -2 memenuhi.

Untuk -1 ≤ x < 2
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x = 4
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -4
karena -1 ≤ x < 2, maka x = -4 tidak memenuhi.

Untuk x ≥ 2 

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) + (2x - 4) = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 + 2x - 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  3x = 12
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = 4
karena x ≥ 2, maka x = 4 memenuhi.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = -2  atau  x = 4.